Quadratische Ergänzung

Ich kann mir die ganzen Formeln nicht merken. Deshalb bevorzuge ich Lösungen, die ich ohne Formel einfach verwenden und herleiten kann. Und wenn ich doch mal eine Formel brauche steht die bestimmt im Bronstein. Los gehts, wie funktioniert quadratische Ergänzung::

x2+2x+2 = 0

Wir wissen, das (x+a)² = x²+2ax+a² ist. also ergänzen wir unsere Gleichung oben so, das wir sie in (x+a)2 zurückführen können. Wir halbieren die Zahl vor dem x, quadrieren sie und addieren sie auf beiden Seiten der Gleichung: (2/2)2 = 1, also +1 auf beiden Seiten.

   x2+2x      +2 =  0
=> (x2+2x+1)  +2 =  1
=> (x+1)2     +2 =  1
=> (x+1)2        = -1

Ups, ganz blödes Beispiel, weil komplexe Lösung. Aber ok da müssen wir jetzt durch.

=> x1+1 = i und x2+1 = -i
=> x1=-1+i und x2=-1-i sind die Lösungen der Gleichung

Noch ein Beispiel:

   x2 -4x    +3 = 0
=> x2 -4x +4 +3 = 4
=> (x-2)2    +3 = 4 
=> (x-2)2       = 1
=> x1-2 = 1 und x2-2 = -1
=> x1=3 und x2=1 sind Lösungen der Gleichung

Ich finde das viel einfacher als mir die pq Formel oder die Mitternachtsformel zu merken und stumpf Werte einzusetzen ohne zu verstehen was los ist. Ich gebe zu, ich habe Gleichungen mit einfachen Wurzeln genommen, aber es funktioniert immer.

Schau dir die unterschiedlichen Lösungsmöglichkeiten einfach mit ChatGPT oder auf Wikipedia an. Ich finde die „Quadratische Ergänzung“ sieht am schönsten aus. Aber schau genau hin! Bei mir hat ChatGPT behauptet:

Die Hälfte des linearen Koeffizienten vor x ist -4, und das Quadrat davon ist 4.