Quadratische Gleichung Lösen nach Po-Shen Loh

Ich habe schon im Beitrag Quadratische Ergänzung angemerkt, das ich mir Formeln nicht merken kann und mir lieber etwas herleite, als stumpf eine Formel abzuarbeiten. Die Lösung von Po Shen Loh wird in der Schule überhaupt nicht behandelt. Ich finde Sie ist sehr intuitiv und einfach.

Wir nehmen hier die gleiche Formel die Po-Shen Loh in seinem Video verwendet.

(x-2) * (x-6) = x2 -8x +12 = 0

Das Beispiel wird ausführlicher beschrieben, um den Ansatz verständlich zu machen. Das schnelle Kochrezept zeige ich unten an anderen Beispielen.

Definieren wir ein quadratische Gleichung mit den Lösungen a und b:

   (x-a) * (x-b) = 0
=> x - (a+b)*x + a*b = 0

Für die Gleichung x2 -8x +12 = 0 bedeutet das, wir suchen zwei Zahlen mit der Eigenschaft

a+b = 8 und a*b = 12

Wenn wir zwei Zahlen suchen deren Summe 8 ergib, müssen diese Zahlen die gleiche Distanz zur Hälfte von 8 also 4 haben. hier ein paar Beispiele:

4 + 4 = 8 (Distanz = 0)
3 + 5 = 8 (Distanz = 1)
2 + 6 = 8 (Distanz = 2)

Das gilt auch für alle „krummen“ Zahlen.

7/2 + 9/2        = 8 (Distanz =  1/2)
(4-√2) + (4+√2)  = 8 (Distanz = √2)

Verallgemeinern wir das und nennen die Differenz u. Dann können a und b so angegeben werden:

a =  8/2 + u  = 4 + u
b =  8/2 - u  = 4 - u

Der nette Seiteneffekt tritt jetzt bei der Multiplikation auf. Die Terme mit u heben sich auf (siehe Binomische Formeln)

a * b = (4-u) * (4+u)  = 
        16 +4u -4u +u2 = 12
=> -u2 = -4
=>  u2 =  4    =>   u = √4   =>   u1,2 = -2, 2

Wir bekommen für u die Lösungen -2 und 2, Die setzten wir jetzt in die Gleichung für a und b ein:

u = -2
=> a = 4 - -2 = 6
=> b = 4 + -2 = 2
=> (x-6)*(x-2)

u = 2
=> a = 4 - 2 = 2
=> b = 4 + 2 = 6
=> (x-2)*(x-6)

Noch netter ist, wir brauchen nur eine Lösung für u. Die zweite Lösung ist redundant. Also picken wir uns die Lösung raus, mit der wir einfacher rechnen können.

Jetzt als Kochrezept für x2 −4x −3. Wir stellen das erstmal so um, das die Vorzeichen passen: Negativ für die Zahl vor dem x und Positiv für die Zahl ohne x: x2 −4x +(-3) = 0. Wir suchen zwei Zahlen deren Summe 4 ergibt und deren Produkt -3 ergibt.

a * b = (4/2 - u) * (4/2 + u) = (2 - u) * ( 2 + u ) = 4-u2 = -3 
=>  u = √7,   a = 2-√7,   b = 2+√7
Gebenprobe:
    (x - (2-√7)) * (x - (2+√7))
  = x2 - ((2-√7)+(2+√7))x + ((2-√7)*(2+√7))
  = x2 - (2+2+√7-√7))x + (22-√72)
  = x2 - 4x + (4-7)
  = x2 - 4x - 3 

Keine Angst vor Wurzeln oder Brüchen, die verschwinden bei den meisten Aufgaben, die in der Schule gestellt werden, wieder. Und nochmal für x2 +9x +20. Zuerst die Vorzeichen anpassen: x2 -(-9)x +20 = 0. Wir suchen zwei Zahlen deren Summe -9 ergibt und deren Produkt 20 ergibt.

((-9/2) - u)*( (-9/2) +u) = 81/4 - u2 = 20 = 80/4
=> u2 = 81/4 - 80/4  =  1/4 
=> u  = 1/2  =>   a  = -5,   b = -4  
=> (x+5) * (x+4)
=> x2 +4x +5x +5*4
=> x2 +9x +20

Also habe wir richtig gerechnet. Und keine Angst vor komplexen Zahlen. Einfach an das Kochrezept halten. x2 +2x +2 = x2 -(-2)x +2 = 0 . Jetzt suchen wir wieder zwei Zahlen deren Summe -2 ergibt und deren Produkt 2 ergibt

   (-1 - u) * (-1 + u) = 2
=> (1)2 - u2 = 2  
=> u2 = -1
=> u = √-1 = i
=> u = i   =>   a =  -1 - i,   b = -1 + i
=> (x-(-1-i))*(x-(-1+i)) = 0
=> (x+(1+i))*(x+(1-i)) = 0

Rechnen wir mal zur Probe aus

= x² + ((1 + i) +(1 – i))x+(1 + i)*(1-i)

Summe: a+b = 1 + i + 1 – i = 2
Produkt: a*b = (1 + i) * (1 – i) = 1² – i²= 1 – (-1) = 2

= x² + 2x + 2

Wir haben also dir richtigen Lösungen gefunden. Wichtig ist es alle Gleichungen immer in die Form x² -(p)x +(q) zu bringen. Bei Bedarf müssen die Vorzeichen von p oder q angepasst werden. Beim Ausrechnen der Lösungen a und b immer das Vorzeichen von p Im Kopf behalten, auch wenn es beim Multiplizieren nicht relevant ist:

a     = (p/2 - u) 
b     = (p/2 + u)
a * b = (p/2 - u) * (p/2 + u) 
      = (p/2)2 - u2